Александр Николаевич родился в г. Горно-Алтайске в семье военнослужащего. Отец Николай Юдинович – ветеран войны и труда, подполковник запаса. Первому и единственному в Горном Алтае, в 1979 г. ему присвоено звание «Почетный сотрудник госбезопасности СССР». Мать Тюхтенева Елизавета Санатовна – учитель алтайского языка и литературы областной национальной школы.
В 1971 г. окончил Горно-Алтайскую областную национальную среднюю школу, в 1977 г. – факультет управления и организации производства Томского политехнического института, в 1984 г. – аспирантуру Московского института управления. В 1986 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме «Совершенствование организационных форм управления в производственном объединении», кандидат экономических наук.
А. Н. Алчубаев является одним из значимых участников преобразования Горно-Алтайской автономной области в Республику Алтай. С учётом его экономического обоснования народные депутаты Горно-Алтайского областного Совета 25 октября 1990 г. на третьей сессии двадцать первого созыва приняли решение о выводе Горно-Алтайской автономной области из состава Алтайского края и преобразовании Горно-Алтайской автономной области в Горно-Алтайскую АССР.
Свою трудовую деятельность в 1977 г. начал на Волжском автомобильном заводе в качестве инженера-организатора, затем – начальника бюро организации управления объединением. В 1980 г. был признан «Лучшим молодым специалистом АвтоВАЗа». В 1989 г. вернулся на Алтай, работал заместителем начальника планово-экономического управления Горно-Алтайского облисполкома. С 1990 по 1997 гг. – заместитель Председателя Горно-Алтайского облисполкома, заместитель Председателя Правительства Республики Алтай.
В 1997 г. принял участие в организации коммерческого банка «Эл Банк» (Народный Банк), которым руководил до 2000 г. С 2000 по 2002 гг. – Первый заместитель Председателя Правительства Республики Алтай, с 2002 по 2007 гг. Председатель Правления КБ «Эл Банк», с 2007 по 2014 гг. – Министр экономического развития и инвестиций Республики Алтай.
Под руководством А. Н. Алчубаева в 1990 г. была разработана и реализована в республике концепция эколого-экономической зоны (ЭЭЗ «Горный Алтай»).
В 2002-2006 гг. избирался депутатом Государственного Собрания – Эл Курултай Республики Алтай.
С 1 декабря 2014 г. по 9 января 2017 г. руководитель направления по развитию Филиала акционерного общества «Особые экономические зоны» в Республике Алтай.
Награждён почётным знаком «За заслуги перед банковским сообществом России», Имеет звания «Топ-менеджер Российской Федерации 2006», «Почетный гражданин Чемальского района» (2012), «Заслуженный экономист Республики Алтай» (2014), кавалер Ордена «Таҥ Чолмон» («Утренняя Звезда») (2016).
Александр Николаевич Алчубаев является фондообразователем Государственного архива Республики Алтай.
