Александр Николаевич родился 28 августа 1951 г. в селе Солоновка Новичихинского района Алтайского края в семье колхозников. С детства мечтал стать военным. Сбылась детская мечта – поступил и окончил с красным дипломом Тюменское высшее военно-инженерное училище. Служил в воинских гарнизонах Дальнего востока, несколько лет – в Чехословакии.
В 1979 г. назначен первым заместителем командира воинской части в г. Шимановск Амурской области, в 1985 г. был откомандирован для дальнейшего прохождения службы в Алейский городской военный комиссариат Алтайского края на должность начальника отделения, три года служил в р.п. Шипуново Алтайского края на должности военного комиссара района.
С сентября 1988 г. трудовая биография А. Н. Гаврикова связана с Горным Алтаем. Он возглавил военный комиссариат Горно-Алтайской автономной области, а с 1991 г. стал первым военным комиссаром Республики Алтай.
В 1998 г. в связи с окончанием срока военной службы был назначен на должность начальника отдела спецработы Аппарата Правительства Республики Алтай. С 2001 по 2005 гг. – начальник финансово-хозяйственного управления Правительства Республики Алтай. В 2005 г. переведен на должность заместителя руководителя Государственной архивной службы Республики Алтай, с мая 2006 г. назначен председателем Комитета по делам архивов Республики Алтай.
За многолетний добросовестный труд А. Н. Гавриков награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» 2 степени, «За безупречную службу» 1, 2, 3 степеней, 60, 70 лет «Вооружённых сил», «60 лет Победы в Великой Отечественной войне», Почетной грамотой Республики Алтай, Почетной грамотой Федерального архивного агентства.
В 2008 г. Указом Главы Республики Алтай, Председателя Правительства Республики Алтай А. Н. Гаврикову за особые заслуги в государственной и общественной деятельности и большой вклад в социально-экономическое развитие республики присвоено Почетное звание «Почетный гражданин Республики Алтай».