Валерий Анатольевич Елыкомов родился в городе Майкоп Краснодарского края в семье медиков. В 1982 г. с отличием окончил Алтайский государственный медицинский институт по специальности «Лечебное дело». Обучался в клинической ординатуре под руководством терапевта и гематолога Зиновия Баркагана. В 1984-1993 гг. работал ординатором гематологического отделения городской больницы № 8 Барнаула. В 1989 г. защитил кандидатскую диссертацию, а спустя 10 лет – докторскую. Автор около 100 печатных работ, пяти монографий и четырех патентов.
В 1993 г. назначен заместителем главного врача Алтайской краевой станции переливания крови. С 1994-1998 гг. – главный терапевт комитета по здравоохранению администрации Алтайского края. С 1999 г. занимал должность главного внештатного гематолога комитета администрации края по здравоохранению.
С 2000 по 2005 гг. руководил Алтайской краевой станции переливания крови. В 2005 г. назначен на должность председателя комитета администрации Алтайского края по здравоохранению, с 2007 по 2010 гг. работал начальником главного управления края по здравоохранению и фармацевтической деятельности.
В 2010 г. стал главным врачом Алтайского краевого кардиологического диспансера, с 2012 г. – главным врачом Алтайской краевой клинической больницы.
Кроме профессиональной и преподавательской деятельности Валерий Анатольевич занимался общественной и государственной деятельностьюв 2014-2016 гг. – депутат Алтайского краевого Законодательного собрания VI созыва, в 2016 г. был избран депутатом Государственной Думы Российской Федерации VII созыва. Является членом комитета по охране здоровья, будучи членом фракции «Единой России». В период исполнения полномочий депутата Государственной Думы, выступил соавтором 44 законодательных инициатив и поправок к проектам федеральных законов.
18 октября 2021 г. назначен министром здравоохранения Республики Алтай.
Валерий Елыкомов удостоен высшей ведомственной награды Минздрава России – медали «За заслуги перед отечественным здравоохранением», награжден знаком «Отличник здравоохранения», медалью администрации Алтайского края «За заслуги в труде».
